Mathematik: 7. Klasse – Schulstoff.org (2024)

Achsen- und punktsymmetrische Figuren

Achsensymmetrische Figuren

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie sich in zwei gleich große Teile zerlegen lässt, die durch Falten an der Symmetrieachse zur Deckung kommen.

Sie haben besondere Eigenschaften:

• Die Strecke $[PQ]$ zwischen den symmetrischen Punkten $P$ und $Q$ wird von der Symmetrieachse senkrecht halbiert.
• Liegt ein Punkt auf der Symmetrieachse, so fällt er mit seinem Bildpunkt auf dem gleichen Punkt zusammen (Fixpunkt).
• Jeder Punkt auf der Symmetrieachse ist von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.
• Symmetrische Strecken sind gleich lang.
• Symmetrische Winkel sind gleich groß, wobei sich der Drehsinn ändert.
• Symmetrische Geraden sind parallel oder schneiden sich auf der Symmetrieachse.
• Symmetrische Kreise haben den gleichen Radius.

Konstruktion von Spiegelpunkt und Achse

Achsensymmetrische Figuren lassen sich aus ihren Hälften herstellen, indem man sie spiegelt. Werden dabei nur ein Zirkel und ein Lineal verwendet, ohne Abstände mit dem Lineal zu messen, spricht man von Konstruieren bzw. einer Konstruktion.

Konstruktion eines Spiegelpunkts mit einer Achse

Gegeben sind die Spiegelachse $a$ und der Punkt $P$. Gesucht ist der Spiegelpunkt $Q$.

In diesem Fall nimmt man zunächst einen beliebigen Punkt $A$ auf der Achse und zeichnet einen Kreis mit dem Radius $[AP]$ um ihn herum. Das gleiche macht man mit einem anderen Punkt $B$. Die beiden Kreise schneiden einander im Punkt $P$ und im Punkt $Q$.

Die Vorgehensweise kann etwa wie folgt aussehen:

Konstruktion der Symmetrieachse zweier Punkte

Gegeben sind die zwei Punkte $P$ und $Q$. Gesucht wird die Symmetrieachse $a$ dieser beiden Punkte.

Zunächst zieht man um beide Punkte denselben Kreis, dessen Radius größer ist als die Hälfte der Strecke $[PQ]$. Die Gerade zwischen den beiden Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$ ist die Spiegelachse. Da sie die Strecke $[PQ]$ rechtwinklig halbiert, wird die Symmetrieachse auch Mittelsenkrechte oder Mittellot genannt.

Weitere Grundkonstruktionen

Folgende Konstruktionen werden regelmäßig benötigt. Sie werden daher als Grundkonstruktionen bezeichnet.

Errichten und Fällen eines Lotes

Möchte man von einem Punkt $P$, der auf der Geraden $g$ liegt ($P \in g$), aus ein Lot auf $g$ errichten, zeichnet man die Schnittpunkte eines Kreises (um $P$). Mithilfe dieser weiteren Punkte wird die Mittelsenkrechte konstruiert. Hierbei genügt es, nur eine Schnittstelle zu ermitteln:

Liegt der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$ ($P \notin g$), so fällt man das Lot, indem man von $P$ aus einen Kreis zeichnet, der zwei Schnittpunkte mit $g$ hat. Mithilfe dieser Schnittpunkte wird eine Mittelsenkrechte gebildet. Der Punkt, in dem sich die zwei Geraden schneiden, heißt Lotfußpunkt $F$.

Winkelhalbierende

Möchte man die Winkelhalbierende $w_\alpha$ eines Winkels $\alpha$ konstruieren, schneidet man zunächst den Schenkel und den Scheitel. Sodann konstruiert man von diesen Punkten aus die Mittelsenkrechte.

Mittelparallele

Gegeben sind zwei parallele Geraden $g$ und $h$. Auf $g$ liegt der Punkt $P$ ($P \in g$). Gesucht ist die Mittelparallele $m$.

Hierfür fällt man zunächst von $P$ das Lot auf $h$. Dieses Lot schneidet $h$ im Punkt $F$. Danach konstruiert man die Mittelsenkrechte der Strecke $[PF]$.

Punktsymmetrie

Allgemeines

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch Halbdrehung, d.h. bei einer Drehung um 180° um das Symmetriezentrum (auch: Spiegelzentrum) $Z$, mit sich zur Deckung kommt:

Bei einer Punktsymmetrie sind folgende Eigenschaften zu beobachten:

• Strecken sind gleich lang.
• Winkel sind gleich groß und haben den gleichen Drehsinn.
• Geraden sind zueinander parallel; verläuft eine Gerade durch das Spiegelzentrum, ist sie mit sich selbst punktsymmetrisch.

Konstruktionen bei punktsymmetrischen Figuren

Um einen punktsymmetrischen Punkt $P*$ des Punkts $P$ zu erhalten, zeichnet man als erstes die Gerade $PZ$. Der Spiegelpunkt liegt auf dieser Gerade. Sodann zeichnet man um $Z$ einen Kreis mit dem Radius der Strecke $[PZ]$:

Will man dagegen das Spiegelzentrum $Z$ zweier Punkte erhalten, muss man den Mittelpunkt der Strecke $[PP*]$ ermitteln. Denn $Z$ liegt auf dem Schnittpunkt der Strecke $[PP*]$ und der dazu gehörenden Mittelsenkrechte:

Symmetrische Vierecke

Es gibt insgesamt sechs Vierecke, die eine Symmetrie aufweisen:

Quadrat

Raute

Rechteck

Drachenviereck

Gleichschenkliges Trapez

Parallelogramm

Winkelbetrachtungen an Figuren

Winkel an einer Geradenkreuzung

Schneiden sich zwei Geraden, bilden sie eine Geradenkreuzung. Diese hat die vier Winkel $\alpha, \beta, \gamma$ und $\delta$:

Da die Winkel $\alpha$ und $\beta$, $\beta$ und $\gamma$, $\gamma$ und $\delta$ sowie $\delta$ und $\alpha$ jeweils nebeneinander liegen, werden sie als Nebenwinkel bezeichnet. Deren Summe beträgt jeweils 180°.

Dagegen sind die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ sowie $\beta$ und $\delta$ zueinander Scheitelwinkel. Sie besitzen die gleiche Größe.

Winkel an Parallelen

Hat man zwei parallele Geraden $g_1$ und $g_2$ und schneidet diese mit einer dritten Geraden $s$, so erhält man eine so genannte Doppelkreuzung. An ihr bestehen folgende Winkel:

Stufenwinkel

Als Stufenwinkel (oder F-Winkel) werden diejenigen Winkel bezeichnet, die auf derselben Seite der Gerade $s$ und auf einander entsprechenden Seiten der Geraden $g_1$ und $g_2$ liegen.

Stufenwinkel sind jeweils gleich groß. Es gilt also z. B.:

$$ \alpha_1 = \alpha_2 \\ \delta_1 = \delta_2 $$

Wechselwinkel

Winkel, die in Bezug auf $g_1$, $g_2$ und $s$ auf verschiedene Seiten liegen, heßen Wechselwinkel (oder auch Z-Winkel).

Auch Wechselwinkel sind jeweils gleich groß, z. B.:

$$ \gamma_1 = \beta_2 \\ \delta_1 = \alpha_2 $$

Nachbarwinkel

Winkel, die auf der gleichen Seite von $s$, aber auf verschiedenen Seiten von $g_1$ und $g_2$ liegen, heißen Nachbarwinkel (oder auch E-Winkel). Diese Winkel ergeben zusammen 180°

Ihre Winkel ergeben zusammen 180°:

$$ \alpha_1 + \gamma_2 = 180^\circ \\ \delta_1 + \beta_2 = 180^\circ $$

Winkelsumme im Dreieck und anderen Vielecken

In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ immer 180°. Die entsprechenden Außenwinkel $\alpha^*$, $\beta^*$ und $\gamma^*$ ergeben mit ihnen ebenfalls 180°:

In einem Viereck ergibt die Summe der Innenwinkel 360°. Allgemein lässt sich die Winkelsumme in einem Vieleck mit $n$ Ecken mit folgender Formel beschreiben:

$$ \text{Winkelsumme} = \frac{n - 1}{2} \cdot 180^\circ $$

Terme und Gleichungen

Term und Zahl

Terme können außer Zahlen, Rechenzeichen und Klammern auch Variabeln beinhalten. Mit Variabeln kennzeichnet man, dass in einer Rechnung ein Bestandteil veränderlich ist. Man schreibt, wenn man $x$ als Variable verwenden will, z. B.:

$$ T(x) = 3x^2 $$

Ausgesprochen wird dies so: „T von x ist gleich drei mal das Quadrat von x.“

Die Zahlen, die in den Term für die Variable eingesetzt werden können, heißen zusammen Grundmenge $G$. Beim Einsetzen einer Zahl erhält man den Termwert. So hat der angesprochene Term bei $x = 2$ einen Termwert von:

$$ T(2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 $$

Umformen von Termen

Terme lassen sich umformen. Hierbei werden häufig die bereits bekannten Rechengesetze – Kommutativgesetz sowie das Assoziativgesetz verwendet.

Haben zwei Terme jeweils Variabeln und haben sie für jeden Wert der Variable den gleichen Termwert, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Addieren und Subtrahieren

Hat ein Term mehrere gleichartige Termglieder („Variantenkombinationen“), so kann man diese Termglieder addieren oder subtrahieren, indem man ihre Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert:

$$ m \cdot x + n \cdot x = (m + n) \cdot x \\ m \cdot x - n \cdot x = (m - n) \cdot x$$

Beispiele:

$$ 5x + 7x = 12x \\ 3x^2 - 2x^2 = 1x^2 = x^2 $$

Multiplizieren und Dividieren

Auch bei der Multiplikation können das Kommutativ- und Assoziativgesetz angewandt werden. Bei der Multiplikation und bei der Division wird der Koffezient mit einer Zahl multipliziert bzw. dividiert:

$$ m \cdot x \cdot n = (m \cdot n) \cdot x\\ m \cdot x : n = \frac{m}{n} \cdot x $$

Beispiele:

$$ 5x \cdot 3 = 5 \cdot 3 \cdot x = 15 \cdot x = 15x \\ 12x : 3 = 12 : 3 \cdot x = 4 \cdot x = 4x $$

Haben beide Faktoren bzw. der Dividend und Divisor eine Variable, wird diese mit verrechnet:

$$ 5x \cdot 3x = 5 \cdot 3 \cdot x \cdot x = 15 \cdot x^2 = 15x^2\\ 12x^2 : 4x = 12 : 4 \cdot x^2 : x = 3 \cdot x = 3x $$

Auflösen von Klammern

Bei Termen mit Klammern ist auf das Vorzeichen vor der Klammer zu achten. Handelt es sich um ein Plus, wird also der Klammerterm addiert, so können die Klammern einfach weggelassen werden:

$$ a + (b + c) = a + b + c $$

Steht vor der Klammer hingegen ein Minus, handelt es sich also um eine Subtraktion, werden die Vorzeichen innerhalb der Klammern beim Auflösen vertauscht: Jedes Minus wird zu einem Plus, jedes Plus wird zu einem Minus:

$$ a - (b + c -d) = a - b - c + d $$

Beispiele:

$$ 4x + (3x - 5x + 8x) = 4x + 3x - 5x + 8x = 10x \\ 4x - (3x - 5x + 8x) = 4x - 3x + 5x - 8x = -2x $$

Multiplikation und Division von Summen und Differenzen

Eine Summe oder Differenz wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jedes Glied der Summe bzw. der Differenz mit dem Faktor multipliziert. Diese Produkte werden sodann addiert bzw. subtrahiert:

$$ (a + b) \cdot c = ac + bc \\ (a - b) \cdot c = ac - bc $$

Bei der Division wird entsprechend vorgegangen:

$$ (a + b) : c = a : c + b : c;\quad c \in \mathbb{Q}\backslash\{0\} \\ (a - b) : c = a : c - b : c;\quad c \in \mathbb{Q}\backslash\{0\} $$

Wird dagegen eine Summe oder Differenz mit einer anderen Summe oder Differnz multipliziert bzw. dividiert, so wird jedes Glied mit den anderen verrechnet. Dabei ist auf die Vorzeichen zu achten:

$$ (a + b) \cdot (c - d) = a \cdot c + a \cdot (-d) + b \cdot c + b \cdot (-d) = ac - ad + bc - bd \\ (a - b) : (c + d) = \frac{a}{c} + \frac{a}{d} + \frac{-b}{c} + \frac{-b}{d} = \frac{a}{c} + \frac{a}{d} - \frac{b}{c} - \frac{b}{d} $$

Beispiele:

$$ (3x + 5) \cdot (-3) = 3x \cdot (-3) + 5 \cdot (-3) = -9x - 15 \\ (6x - 9) : 3 = 6x : 3 - 9 : 3 = 2x - 3 $$

Gleichungen und Äquivalenzumformungen

Eine Gleichung erhält man, indem man zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen gleichsetzt, z. B.

$$ 3x + 5 = 7x - 2 $$

In der Gleichung kann man anstelle der Variable auch Zahlen einsetzen. Die Gesamtheit dieser Zahlen wird als Grundmenge $G$ bezeichnet. Ergibt das Einsetzen einer Zahl eine wahre Aussage, so ist diese Zahl eine oder die Lösung der Gleichung. Die Gesamtheit aller Lösung heißt Lösungsmenge $L$. Gibt es keine Lösung, ist sie eine leere Menge:

$$ L = \{\} $$

Eine Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen gelöst oder zumindest vereinfacht werden. Hierbei werden auf beiden Seiten die gleichen Rechenschritte vorgenommen, da sich dabei nicht die Lösungsmenge ändert. Es sind folgende Umformungen erlaubt:

• Auf beiden Seiten den gleichen Wert addieren bzw. subtrahieren.
• Auf beiden Seiten den Term mit der gleichen von null verschiedenen Zahl multiplizieren bzw. dividieren.

Nehmen wir die oben genannte Gleichung, so erhalten wir als Lösung:

$$ \begin{array}{rll} 3x + 5 & = & 7x - 2 & \mid -7x \\ 3x - 7x + 5 & = & -2 \\ -4x + 5 & = & -2 & \mid -5 \\ -4x & = & -2 - 5 \\ -4x & = & -7 & \mid :(-4) \\ x & = & 1{,}75 & \Rightarrow L = \{1{,}75\} \end{array} $$

Das Dreieck als Grundfigur

Kongruente Figuren

Unter kongruenten oder deckungsgleichen Figuren versteht man solche Figuren, die sich durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung vollständig zur Deckung bringen lassen. Sie stimmen also in ihrer Form und in ihrer Größe überein. Betrachtet man etwa die kongruenten Figuren $A$ und $B$, so schreibt man

$$ A \cong B $$

Kongruenzsätze für Dreiecke

Ein Dreieck kann durch drei geeignete Eigenschaften eindeutig festgelegt werden. Erfüllt ein anderes Dreieck ebenfalls diese Eigenschaften, ist es zum anderen Dreieck kongruent. Diese Eigenschaften werden als Kongruenzsätze des Dreiecks bezeichnet:

Besondere Dreiecke

Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang; diese Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite heißt Basis. Der Basis gegenüber liegt die Spitze. Die Winkel an der Basis heißen Basiswinkel und sind gleich groß. Das gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse, die die Basis rechtwinklig schneidet und durch die Spitze verläuft.

Eine Sonderform des gleichschenkligen Dreiecks ist das gleichseitige Dreieck. Bei diesem sind alle drei Seiten gleich lang und alle Winkel haben eine Größe von 60°. Daneben besitzt das gleichseitige Dreieck drei Symmetrieachsen, die durch jedes Eck verlaufen und die Seiten halbieren.

Rechtwinkliges Dreieck und Thaleskreis

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel. Die zwei Seiten, die an diesem rechten Winkel liegen, nennt man Kathete, die gegenüberliegende (längste) Seite ist die Hypotenuse:

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Scheitel $C$ des rechten Winkels auf dem so genannten Thaleskreis. Das ist der Kreis, den man erhält, wenn man von der Strecke $[AB]$ den Mittelpunkt $M$ nimmt und um ihn den Kreis mit dem Radius $MA$ zieht. Häufig wird auch nur ein Halbkreis gezeichnet:

Kreis und Gerade

Tangente, Passante, Sekante

Eine Gerade kann in Bezug auf einen Kreis verschiedentlich im Raum liegen. Sie wird entsprechend auch unterschiedlich bezeichnet:

• Eine Tangente berührt einen Kreis lediglich in einem Punkt. Sie steht auf dem Berührungsradius senkrecht.
• Eine Sekante geht dagegen durch den Kreis hindurch. Sie „schneidet“ den Kreis also. Der Teil der Gerade, der innerhalb des Kreises liegt, wird als Sehne bezeichnet.
• Eine Passante läuft dagegen an einem Kreis vorbei, ohne ihn zu berühren oder zu schneiden.

Tangentenkonstruktionen

Tangente durch B auf dem Kreis

Will man die Tangente $t$ konstruieren und hat neben dem Kreismittelpunkt $M$ auch den Berührungspunkt $B$ gegeben, so errichtet man wie bereits bekannt das Lot:

Tangente durch P an einen Kreis

Ist dagegen ein außerhalb des Kreises liegender Punkt $P$ gegeben, muss man zunächst den Mittelpunkt der Strecke $[MP]$ finden. Um diesen wird dann ein Kreis mit dem Durchmesser $MP$ gezeichnet. Damit ergeben sich zwei Berührungspunkte ($B_1$ und $B_2$). Verbindet man diese mit dem Punkt $P$, ergeben sich die zwei Tangenten $t_1$ und $t_2$.

Ist der Punkt P gegeben, der außerhalb des Kreises liegt, muss man zunächst den Mittelpunkt der Strecke [MP] finden. Um diesen wird dann ein Kreis mit dem Durchmesser MP gezeichnet. Dort, wo sich die beiden Kreise schneiden, liegen zwei Berührpunkte, die - verbunden mit dem Punkt P - zwei Tangenten bilden.

Konstruktionen an Drei- und Vierecken

Mittelsenkrechte und Umkreis eines Dreiecks

In einem Dreieck schneiden sich alle Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt. Dieser Mittelpunkt $M$ muss dabei aber nicht zwingend im Dreieck selbst liegen. Der Mittelpunkt $M$ ist dabei wiederum der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Hat das Dreieck die Ecken $A$, $B$ und $C$, hat der Umkreis den Radius $\overline{MA} = \overline{MB} = \overline{MC}$:

Höhen eines Dreiecks

Ein Dreieck $ABC$ hat die drei Höhen $h_a$, $h_b$ und $h_c$. Diese erhält man, indem man von den einzelnen Ecken auf die gegenüberliegende Seite oder deren Verlängerung ein Lot fällt und die Ecke mit diesem Schnittpunkt verbindet. Eine Höhe muss also nicht unbedingt im Dreieck selbst liegen. Die drei Höhen schneiden sich in einem Höhenschnittpunkt oder Orthozentrum $H$.

Winkelhalbierende eines Dreiecks

Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Er hat zu den drei Seiten den gleichen Abstand und bildet daher den Mittpunkt des Inkreises des Dreiecks. Dieser Inkreis hat einen Radius $\rho$:

Seitenhalbierende eines Dreiecks

Die Seitenhalbierenden sind diejenigen Strecken, die eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden. Sie schneiden sich im so genannten Schwerpunkt $S$ in einem Verhältnis 2:1.